O Crivo de Brun para primos gêmeos.

Abstract

Um número primo p é dito primo gêmeo se p+2 também é primo. Conjectura-se que existem infinitos primos gêmeos. O objetivo dessa dissertação é mostrar que a soma dos inversos dos primos gêmeos converge, enquanto a soma dos inversos de todos os primos diverge (também vamos provar isso usando a função zeta de Riemann). Tal fato pode implicar duas coisas: ou existem finitos primos gêmeos, ou os primos gêmeos são infinitos porém muito escassos na reta real. A técnica utilizada para demonstrar esse resultado é o crivo de Brun, que permite obter uma cota superior para o número de primos gêmeos até x. Para obter tais cotas, é necessário apresentar diversos resultados anteriores, como o princípio da inclusãoexclusão, as funções multiplicativas (em particular, a função de Möbius), as duas primeiras fórmulas de Mertens e o Teorema de Chebyshev. Vamos apresentar também uma caracterização dos primos gêmeos devida a Clement. A cota superior obtida implica diretamente o principal resultado dessa dissertação: a soma dos inversos dos primos gêmeos converge.